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2013年
北京高考英语最后预测卷及其答案免费下载
2013年毕业班解决方案高考预测卷
本试卷共150分．考试时长120分钟．
一、 选择题（共40分，每小题 5分)
1. 已知复数z满足
(1 ) 2, i z z 则
等于（ ）
A．
1 i
B．
1 i
C．
1 i
D．
1 i
2. 如图所示的韦恩图中，
AB ，
是非空集合，定义
AB
表示阴影部分集合．若
, x y R
，
2
2 A x y x x
，
3 , 0 x
B y y x
，则
AB
=（ ）．
A．
(2, )
B．
0,1 (2, )
C．
0,1 (2, )
D．
0,1 [2, )
3. 已知命题 ，那么命题 为（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知数列 { }满足 ，且 ，则
的值是（ ）
A．
1
5
B．
1
5
C．5 D．-5
5. 已知三棱锥的正视图与俯视图如右，那么该三棱锥的侧视图可能为（ ）
6. 函数
( )= sin( ) f x M x
（
M ， ，
是常数
0 M
，
0
，
0
）
的部分图像如图所示，其中
AB ，
两点之间的距离为5，那么
( 1) f
（ ）
A．2 B．
1
C．
2
D．
1
或
2
: ,2 0 x
p x R p ,2 0 x
xR ,2 0 x
xR ≤ ,2 0 x
xR ≤ ,2 0 x
xR n a *
3 3 1 log 1 log ( ) nn a a n N 2 4 6 9 aaa 1 5 7 9
3
log ( ) a a a
7. 抛物线
2
8 yx
的焦点为F,O为坐标原点,若抛物线上一点
P
满足
: 3 : 2 PF PO
则，
POF △
的面积为（ ）
A．
22
B．
23
C．
42
D．
43
8. 定义在R上的函数 满足 ，当 [0， 2]时， ．若
在 上的最小值为-1，则
n
A．5 B．4 C．3 D．2
二、 填空题（共30分，每小题 5分）
9. 如果执行下面的框图，输入
5 N
，则输出的数等于_______
10. 某单位有
27
名老年人，
54
名中年人，
81
名青年人． 为了调查他们的身体情况，用分
层抽样的方法从他们中抽取了
n
个人进行体检，其中有
6
名老年人，那么
n
______．
11. 在 平 行 四 边 形
ABCD
中 ， 若
2, 1, 60 AB AD BAD
，则
AB BD
___________．
() fx ( 2) 2 ( ) f x f x x ( ) (3 1)(3 9)
xx
fx () fx [ 2 , 2 2] nn () nN
12. 若变量
xy ，
满足
20
1
xy
x
≥
，则点
2 P x y x y ，
表示区域的面积为 _______
13. 函数
() fx
的定义域为
D
,若满足：①
() fx
在
D
内是单调函数,②存在
, a b D
,使
() fx
在
, ab
上 的 值 域 为
, ba
, 那么
() y f x
叫 做 对 称 函 数 , 现有
k x x f 2 ) (
是对称函数, 那么
k
的取值范围是_____________．
14. 如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针
上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的
金属片上面．将n个金属片从 1号针移到3 号针最少需要移
动的次数记为 ；
则（Ⅰ） ________(Ⅱ) ________
【答案】7（3分）
（2分）
三、 解答题（共80分）
15. （本题共13分）
已知函数f(x)=sinx+sin
()
2
xx
R．
（1）求f(x)的最小正周期及f(x)的最大值和最小值;
（2）若
3 ()
4
f
求sin
2
的值．
() fn (3) f () fn (2)2 1 n
第 14 题图
如图，在四棱锥
P ABCD
中，
PA AD ⊥
，
AB CD ∥
，
CD AD ⊥
，
22 AD CD AB
，
EF ，
分别为
PC CD ，
的中点，
DE EC
．
（1）求证：平面
ABE⊥
平面
BEF
（2）设
PA a
，若三棱锥
B PED V
的体积满足
2 5 2 15
15 15
V ，
，求实数
a
的取值范围
F
E
D C
B A
P
17. （本题共13分）
PM2．5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2．5 微米的颗粒物，
也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准 GB3095-2012, PM2．5 日均值在 35 微克/立方
米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75
微克/立方米以上空气质量为超标．
从自然保护区 2012 年全年全天的 PM2．5 监测数据中随机抽取 12 天的数据作为样
本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（1）求数据质量为超标数据的平均数与方差
（2）从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率；
4
9 7
8
8
7 0 3
7
2 0
6
8
7
6
5
4
3
2
PM2.5日均值（微克/立方米）
18. （本题共13 分）
已知函数
2
( )= ln f x ax b x
在点
(1 (1)) f ，
处的切线方程为
31 yx
．
（1）若
() fx
在其定义域内的一个子区间
11 kk ，
内不是单调函数，求实数
k
的取值
范围．
（2）若对任意
0 x ，
，均存在
13 t ，
，使得
32 1 1 1
ln 2 ( )
3 2 6
c
t t ct f x
,求
c
的取值范围．
19. （本题14分）
椭圆
22
22
1( 0)
xy
ab
ab
的左右焦点分别为
1( 1 0) F ，
，过
1 F
做与
x
轴不重合的直线
l
交
椭圆于
AB ，
两点．
（1）若
2 ABF
为正三角形，求椭圆的离心率
（2）若椭圆的离心率满足
51
0
2
e
，
O
为坐标原点，求证：
2 2 2
OA OB AB
20. （本题13分）
已知数列
{} n a
具有性质：①
1 a
为整数；②对于任意的正整数
n
，当
n a
为偶数时，
1
2
n
n
a
a
；当
n a
为奇数时，
1
1
2
n
n
a
a
；
（1）若
1 a
为偶数，且
1 2 3 ,, a a a
成等差数列，求
1 a
的值；
（2）设
1 23 m
a
（
3 m
且
mN
），数列
{} n a
的前
n
项和为
n S
，求证：
1
23 m
n S
；
（3）若
1 a
为正整数，求证：当
21 1 log na () nN
时，都有
0 n a
；
答案及其评分标准
2013年毕业班解决方案高考预测卷
第一部分(选择题共40分)
题号 l 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D B A C B
第二部分 填空题 （共 30分）
9．
5
6
10．36 11．-3 12． 1
13．
9
2,
4
k
14．（1）7（3分） （2）
2
21
第二部分 解答题 （共 80分）
15． （1）f(x)=sinx+sin
()
2
x
=sinx+cos
2 x
sin
()
4
x
f(x)的最小正周期为
2 2
1
T
;
f(x)的最大值为
2
最小值为
2
;
（2）因为
3 ()
4
f
即sin
cos
3
4
所以1+2sin
cos
9
16
即2sin
cos
7
16
即 sin
7 2
16
．
3
2 [ 2 , 2 ],
6 2 2
x k k k Z
∴
5
[ , ],
36
x k k k Z
∴
() fx
在
5
[ , ],
36
k k k Z
上单调减．········· 13分
16．(Ⅰ)
, //CD AB , AD CD 2 2 AB CD AD
，
F
分别为
CD
的中点，
ABFD
为矩形，
BF AB
················· 2分
EF DC EC DE ,
,又
EF AB CD AB , //
AE E EF BF ,
面
BEF
,
AE
面
ABE
,
平面
ABE
⊥平面
BEF
····················· 4分
(Ⅱ)
EF DC EC DE ,
,又
EF PD//
，
PD AB CD AB , //
又
PD AB
,所以
AB
面
PAD
,
PA AB
，
PA
面
ABCD
·····6分
三棱锥
PED B
的体积
V
=
BCD E CED B V V
2 2 2
2
1
BCD S
,到面
BCD
的距离
2
a
h
[
BCD E PED B V V
=
]
15
15 2
,
15
5 2
[
3 2
2
3
1
a a
··········· 10分
可得
]
5
15 2
,
5
5 2
[ a
． ·············12 分
17． （1）平均数
77 79 84 88
82
4
x
，方差
2 2 2 2 2 1
(77 82) (79 82) (84 82) (88 82) 18.5
4
s
（2）由茎叶图可知，空气质量为二级的数据有五个：47，50，53，57，68
任取两个有十种可能结果
47 50 ，
，
47 53 ，
，
47 57 ，
，
47 68 ，
，
50 53 ， 50 57 ，
，
50 68 ，
，
53 57 ，
，
53 68 ，
，
57 68 ，
两个数据的和小于 100的结果只有一种：
47 50 ，
记两个数据的和小于 100的事件为A，则
1
()
10
PA
第 3 页/共6 页
18．（1）
'( ) 2
b
f x ax
x
由
'(1) 3
(1) 2
f
f
，得
2
1
a
b
2
( )=2 ln f x x x
，
2
1 4 1
'( ) 4
x
f x x
xx
，令
'( ) 0 fx
得
1
2
x
所以
10
1
1
2
1
1
2
k
k
k
≥
，解得
3
1
2
k
（2）设
22 1 1 1
( ) ln 2
3 2 6
c
g t t t ct
，根据题意可知
min min ( ) ( ) g t f x
由（1）知
min
11
( ) ( ) ln 2
22
f x f
2
'( ) ( 1) ( 1)( ) g t t c t c t t c
当
1 c
时，
'( ) 0 gt ≥
，
() gt
在
13 t ，
上单调递增，
min ( ) (1) ln 2
2
c
g t g
满足
min min ( ) ( ) g t f x
当
13 c
时，
() gt
在
1 tc ，
时单调递减，在
3 tc，
时单调递增，
32
min
1 1 1
( ) ( ) ln 2
6 2 6
g t g c c c
由
32 1 1 1 1
ln 2 ln 2
6 2 6 2
cc
得
3
3 2 0 cc ≥
，
2
1 ( 2 2) 0 c c c （ ）
此时
1+ 3 3 c
．
当
3 c≥
时
() gt
在
13 ，
上单调递减
min
3 14
( ) (3) ln 2
23
c
g t g
3 14 3 3 14 1
(3) ln 2 ln 2 ln 2
2 3 2 3 2
c
g
综上
c
的取值范围是
1 1 3 ， ，
．
19．由椭圆的定义知道
2 1 2 1 AF AF BF BF
∵
22 AF BF
，∴
11 AF BF
，即
12 FF ，
为边
AB
上的中位线
∴
12 F F AB ⊥
在
12 Rt AF F △
中．
2
cos30
4
3
c
a
则
3
3
c
a
，
∴椭圆的离心率为
3
3
（2）设
11 () A x y ，
，
22 () B x y ，
，∵
51
0
2
e
，
1 c
，∴
15
2
a
①当直线
AB
与
x
轴垂直时，
2
22
1
1
y
ab
，
2
2
b
y
a
，
2
4 4 2
1 2 1 2 2 2 2
35
()
31 24 1
a
b a a
OA OB x x y y
a a a
，
∵
2 25
2
a
，
0 OA OB
∴
AOB ∠
恒为钝角，
2 2 2
OA OB AB
②当直线
AB
不与
x
轴垂直时，设直线
AB
的方程为：
( 1) y k x
，代入
22
22
1
xy
ab
①②
整理得，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
20 b a k x k a x a k a b
，
∴
22
12 2 2 2
2ak
xx
b a k
，
2 2 2 2
12 2 2 2
a k a b
xx
b a k
1 2 1 2 OA OB x x y y
2
1 2 1 2 = ( 1)( 1) x x k x x
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
2 2 2
( )(1 ) 2 ( )
=
a k a b k a k k b a k
b a k
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
()
=
k a b a b a b
b a k
2 4 2 2 2
2 2 2
( 3 1)
=
k a a a b
b a k
令
42
( ) 3 1 m a a a
由①知
( ) 0 ma
∴
AOB ∠
恒为钝角，∴
2 2 2
OA OB AB
．
20． （本题共14分）
（1）设
1 2 ak
，
2 ak
，则：
3 22 k a k
，
3 0 a
分两种情况：
k
是奇数，则
2
3
1 1
0
22
a k
a
，
1 k
，
1 2 3 2, 1, 0 a a a
若
k
是偶数，则
2
3 0
22
a k
a
，
0 k
，
1 2 3 0, 0, 0 a a a
（2）当
3 m
时，
1 2 3
1 2 3 4 2 3, 2 1, 2 , 2 ,
m m m m
a a a a
4
5 12 2, , 2, 1, 0 m m m
m
n a a a a a
∴
1 1 2 4 2 2 3 nm
mm
SS
（3）∵
21 1 log na
，∴
21 1 log na
，∴
1
1 2n
a
由定义可知：
1
,
2
1 2
,
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
是偶数
是奇数
∴
1 1
2
n
n
a
a
∴
1 2
11 1
1 2 1
1
2
nn
n n
nn
aa a
a a a
a a a
∴
1
1
1
21
2
n
n n
a
∵
n aN
，∴
0 n a
，
综上可知：当
21 1 log na () nN
时，都有
0 n a
