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2014
皖南八校第二次联考数学（理科）答案
选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题 号12345678910答 案ACBAADBCDC
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11． 12．
13． 14． 15． ②③⑤
．已知中，、、是三个内角、、的对边，关于的不等式的解集是空集．
求角的最大值；
若，的面积，求角取最大值时的值．
不合题意， 则，
即， 即 解得：
故角的最大值为． -------------------- 6分
（Ⅱ）当=时，，∴，
由余弦定理得：，
∴，∴．-------------------- 12分
17．从正方体的12条中任取两条，设为当两条时．
（Ⅰ）求概率；
ξ＝0P(ξ＝0)．ξ＝；
P(ξ＝0)=， P(ξ＝ )=， P(ξ＝ )=；
ξ0P
-------------------- 10分
Eξ＝．18．已知是正方形，直线⊥平面，且，
求二面角的大小；
设为棱的中点，在的内部或边上是否存在一点，使若存在求出点的位置，若不存在说明理由．方法一：
因为，，
设平面的法向量为，则，令得，同理得平面的法向量为，所以其法向量的夹角为即二面角为∵，设，（，，），则．
由面．
∴存在点（即棱的的中点，面方法二：
连结交于，则面，
作于，连结，则就是
二面角的平面角．
．=，∴二面角为．
存在的中点，使⊥平面．
是△中位线，，而面，故⊥平面．
．：满足，
（Ⅰ）设，求证是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，数列的前项和为，求证：．
解：（Ⅰ）由得，
，即，
∴是以2为公比的等比数列； -------------------- 4分
（Ⅱ） 由， 即，
∴ -------------------- 8分
（Ⅲ）
∴． -------------------- 13分
20．已知命题若点是上一点，则过点的圆的切线方程为．根据上述命题类比：若点是椭圆上一点，则过点的切线方程为 ．（写出直线的方程，证明）．
已知椭圆：的左焦点，且过点（1，）求椭圆的方程；
过的直线交椭圆于两点过、分别作椭圆的切交点的轨迹方程．
； -------------------- 3分
（Ⅱ）（ⅰ）； -------------------- 7分
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设为，直线的方程为，
设A，B，
则椭圆在点处的切线方程为： ①
椭圆在点的切线方程为： ②
联解方程① ②得：，
即此时交点的轨迹方程：． -------------------- 11分
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，经过两点的切线交点为
综上所述，切线的交点的轨迹方程为：． -------------------- 13分
21．（本题满分13分）已知函数，（）
（Ⅰ）若在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有唯一零点，试求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），
∴，∴，
∴， -------------------- 2分
令，则有根：，
，，函数单增；
，，函数单减； -------------------- 5分
∴； -------------------- 6分
（Ⅱ）方法一：
由题，即有唯一正实数根；
令，即函数与函数有唯一交点；----------- 9分
；
再令，，且易得，
故，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增；
即，
又当时，，
而当时，且，
故满足条件的实数的取值范围为：．
-------------------- 13分
方法二：
有唯一正实数根，
，记；
（ⅰ）若，，即函数在定义域上单调递增，
又，，即函数有唯一零点；
（ⅱ）若即，则，从而，
又当时，，而当时，；
故函数有唯一零点；
（ⅲ）若，则，但方程的两根满足：
，即两根均小于0，
故，从而，
由（ⅱ）同理可知，仍满足题意；
（ⅳ）若，同样，则方程的两根为：
，（舍）；
当时，，故在为增函数，
当时，，故在为减函数，
故，当时，取得最大值；
则，即，
所以，即；
令，则，即为定义域上增函数，
又，所以方程有唯一解，
故，解得；
综上，实数的取值范围为：．
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