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2014
益阳一模理科
数学试题答案
绝密 ★ 启用前
2014届益阳市高三模拟考试
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共页，时量120分钟，满分150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1若R，为虚数单位，且，则A． ，B． ，
C． ，D． ，
2已知，则、、的大小关系是
A．B．
C．D．
3．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是
A．6
B．8
C．10
D．15
4．设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为A．
B．
C．
D．
5．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次
B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次
C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人
D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人
6设变量x，y满足约束条件，则的最大值是
A．7B．8C．9 D．10
7．下列有关命题的说法正确的是
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．“” 是“”的必要不充分条件.
C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.
D．命题“R使得”的否定是：“R均有”．
8在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若．则角C等于
A．B．C．D．
9．设是的展开式中项的系数（），若，则的最大值是
A．B．C．D．
10．函数的定义域为，且其图象上任一点满足方程，给出以下四个命题：①函数是偶函数；
②函数不可能是奇函数；③，；④，.其中真命题的个数是
A．1B．2 C．3D．4
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t为参数），在极坐标系 与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于 .
12不等式的解集是 .
13如图，在Rt△ADE中，是斜边AE的中点，以为直径的圆与边DE相切于点C，若 AB＝3，则线段CD的长为 ．
（二）必做题（14～16题）
14．已知向量a=(,), b =(,)若a∥b则= .
15．直线与抛物线所围图形的面积等于 .
16．设集合={1，2，3，4，5},对任意和正整数，记，其中，表示不大于的最大整数，则= ，若，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知函数，R．
（Ⅰ）求的最小值，并求出相应的值的集合；
（Ⅱ）求的单调递减区间．
18（本小题满分12分）
甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的．
（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；
（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和
数学期望．
19（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，,,为的中点，,=.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分13分）
科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A市2013年的碳排放总量为万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年上一年的碳排放总量减少%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨（m>0）.
（Ⅰ）求A市2015年的碳排放总量(用含m的式子表示)；
（Ⅱ）若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围.
21．（本小题满分13分）
已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点.
22（本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）若直线恰好为曲线的切线时，求实数的值；
（Ⅱ）当，时（其中无理数），恒成立，试确定实数的取值范围．2014届益阳市高三模拟考试参考答案
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页．时量120分钟，满分150分．
1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．A 9．D 10．
二、填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．．} 13． 15．．（提示：利用的单调性进行估算验证确定）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）
.（6分）
所以函数的最小值为,
此时满足,
即相应的的取值的集合为.（9分）
（Ⅱ）由得
所以函数的单调递减区间为． （12分）
18.（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件ＡＢＣＥ．（4分）
（Ⅱ）的所有可能取值为0, 1, 2, 3．
；
；
；
．
所以的分布列为
0123． （12中，，
，
，
则为直角三角形，
所以，．
又由已知，
且是的中点，可得
又，
平面
又面
平面平面．（点为坐标原点，建立如图
所示直角坐标系，
则，
．
设平面的法向量为，则有
即
解得：，
所以，平面的一个法向量为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为． （20.（本小题满分13分）
2014年的碳排放总量为，2015年的碳排放总量为，…
（Ⅰ）由已知，,
=. （,
…
.（
（1）当即时,显然满足题意；
（2）当即时，
由指数函数的性质可得:，解得.
综合得；
（3）当即时，
由指数函数的性质可得:，解得,综合得.
综上可得所求范围是.（.（
，∴，
故所求范围是.（N，定点在轴上.
直线AN：，令得:
,
∴直线过定点.（
22.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设切点为，由题意得：
，即，
由（1）解得或.（代入（2）得：.
将代入（2）得： （3），
设，则，
所以在（0,2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，，所以方程（3）无实数解。（.
（Ⅱ）由得： （4），
由知：在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以, 的最小值为，
所以不等式（4）可化为：；（，，，
当，时，，所以；
当，1）时，，所以；
所以在上单调递减，在[1，]上单调递增,
所以，又，，
，又，所以，
所以，，
所以，当，时，恒成立时实数的取值范围是[．（
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