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肇庆市中小学教学质量评估
2014届高中毕业班第一次模拟数 学（科）
. 考试用时120分钟.
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
参考公式： 锥体的体积公式其中S为锥体底面积，为锥体高.
一、选择题：本大题共小题，每小题5分，满分0分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={，集合大于且小于4的整数}，则
A．( B． C． D．
2．定义域为R的四个函数，，中偶函数的个数是A． B． C．D．
3．设是虚数单位，，为复数的共轭复数，则
A． B． C． D．
4．二项式的展开式中的系数是
A． B． C． D．5．某四棱锥的三视图如图1所示单位：cm，则该四棱锥的体积是
A．B．C．D．
6．若如图2所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的条件应该是A． B．
C． D．
7．下列命题中真命题是
A．；B．；
C．”是”的充分不必要条件； D．设为向量则”是”的必要不充分条件．设向量，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是A． B． C． D．
二、填空题：本大题共小题，考生作答小题，每小题5分，满分0分.
（一）必做题（～13题）
9函数的定义域为 ▲ .
曲线在处的切线方程为 ▲ .
已知等比数列满足，则 ▲ .．在平面直角坐标系xOy中为不等式组所表示的区域一动点则的最小值 ▲ .
13．已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 ▲ .
（ ） ▲
14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标为 ），曲线C在点）处的切线为l以极点为坐标原点极轴为x轴的正半轴建立坐标系则l的方程为 ▲ .
15．（几何证明选讲选做题）如图△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，则DC= ▲ .
三、解答题本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
，，，函数.
（1）求函数的表达式；
（2）求的值；
（3）若，，求的值.
17．（本题满分13分）
某中学高的一次测成绩分组区间是： ，7；，10；，x；[90，100]，2. 其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题.
（1）求人数及x的；
（2）计算频率分布直
方图中的矩形的高；
（3）从成绩不低于80分的中随机选
取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）
18．（本小题满分13分）
中，D、E分别
是BC和的中点，已知（）求证：⊥平面；（）求二面角的余弦值（）求三棱锥的体积.
19．（本小题满分14分）
的前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列{}的前n项和，求；
（3）设，证明：.
20．（本小题满分14分）
设双曲线（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率， A、B两点，AB中点求直线AB；如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆为什么？
21．（本小题满分14分）
设函数.
1）若函数在区间内恰有两个零点求a的取值范围2）当a=1时求函数在区间t，t+3]上的最大值.肇庆市201届高中毕业班第次 10． 11．16 12．
13．33 14． 15．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解，，，
∴，即函数. （3分）
（2） （6分）
（3）∵，
又，∴，即. （7分）
∵，∴. （8分）
∴， （9分）
. （10分）
∴ （11分）
. （12分）
17．（本小题满分13分）
解（1）由分数在之间的频数为2 频率为，所以人数为（人） 的（人）. （4分）
（2）从分组区间. （6分）
由（1）知分数在之间的频数为4频率为 所以频率分布直方图中的矩形的高为 成绩不低于80分的4+2=6（人），成绩在90分以上(含90分)的人数人，所以的取值为0，1，2. （9分）
，，，（10分）
所以的分布列为：
18．（本小题满分13分）
方法一：
依题意建立如图空间直角坐标系-xyz.
因为＝4，
B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），
B1（4，0，4）. （分）
（），. （分），所以，即. （3分）
因为，所以，即. （4分）
又AD、AE(平面⊥平面.（）为平面AE的法向量. （分）设平面 B1AE的法向量为，，
所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）
∴， （8分）∴二面角的余弦值为. （9分）（3），，得，所以AD⊥DE. （分），. （11分）
由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且， （12分）
所以. （13分）
方法：
依题意平面ABC，，，.
（1）∵，为，∴A⊥BC.
∵B1B⊥平面ABC，平面ABC∴AD⊥B1B.
BC、B1B(平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.
又B1D(平面B1BCC1，故B1D⊥AD . （分），，，
得，所以. （分）(平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面. （5分）
（）过做M⊥AE于点M，连接B1M.
B1D⊥平面AE，(平面AED，得AE ⊥B1D.
又B1D、DM(平面B1DM，且B1D∩DM=D，故AE⊥平面B1M.
因为B1M(平面B1DM，所以B1M⊥AE.
故∠B1MD为二面角B1—AE—的平面角. （分）AD⊥平面B1BCC1，又DE(平面B1BCC1，所以AD⊥DE.
在Rt△AE中，在Rt△B1中，，即二面角B1—AE—的余弦值为. （分）
（3）AD⊥平面B1BCC1，
所以AD为三棱锥A-B1DE的高，且. （10分）
由（1）得. （11分）
故. （13分
19．（本小题满分14分）
解时，有， （1分）
两式相减得 即. （2分）
由，得.
所以对一切正整数n，有， （3分）
故，即. （4分）
（2）由（1），得，
所以 ① （5分）
①两边同乘以，得 ② （6分）
①-②，得， （7分）
所以， （8分）
故. （9分）
（3）由（1），得 （12分）
（13分）
. （14分）
20．（本小题满分14分）
解，解得a=1. （1分）
所以， （2分）
故双曲线C的方程为. （3分）
（2）设则 .
两式相减得： （4分）
由题意得，，， （5分）
所以，即. （6分）
故直线AB的方程为. （7分）
（3）假设A、B、C、D共圆，. 因AB为弦，在AB垂直平分线CD上；又CD为弦，圆心为CD中点. （8分）
下面只需证CD中点满足|A|=|MB|=|MC|=|MD|即可.
由得：. （9分）
由（1）得直线CD方程：由得：，6-），D（-3-，6+）， （11分）
所以CD的中点M（-3，6）. （12分）
因为，，
，， （13分）
所以，
即 A、B、C、D以（-3，6）为圆心，为半径的圆上.
21．（本小题满分14分）
解：（1）∵
∴， （1分）
令，解得 （2分）
当x变化时，，的变化情况如下表：
0—0↗极大值↘极小值↗故函数的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）
因此在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数在区间内恰有两个零点，当且仅当， （5分）
解得， 所以a的取值范围是（0，）. （6分）
（2）当a=1时，. 由（1）可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）. （分）
①当t+3<-1，即t<-4时，
在区间[t，t+3]上单调递增，所以在区间[t，t+3]上的最大值为； （9分）
②当，即时，在区间单调递增，在区间]上单调递减，区间]上单调递，所以在区间上的最大值为.，即t，t+3]( ，-1([t，t+3]，所以在上的最大值为； （分）③当t+3>2，即t>-1时，
由②得在区间上的最大值为. 因为在区间（1，+∞）上单调递增，所以，故在上的最大值为.（13分）综上所述，当a=1时，
在t，t+3]上的最大值.
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